完成某个工作有 \(n\) 类办法，第 \(i\) 类办法有 \(a_i\) 种，则完成此工作的方案数有 \(\sum\limits _{i=1}^n a_i\) 种。
二、乘法原理完成某个工作有 \(n\) 个步骤，第 \(i\) 个步骤有 \(b_i\) 种，则完成此工作的方案数有 \(\prod\limits _{i=1}^n b_i\) 种。
排列组合（基础）一、定义1.排列数：从 \(n\) 个物体中选出 \(m\) 个物体按一定顺序排为一列的方案数，用 \(A_n ^m\ (\)或\(P_n^m)\) 表示，\(A_n^m=\dfrac{n!}{(n-m)!}\)
2.组合数：从 \(n\) 个物体种选出 \(m\) 个物体（不考虑顺序）的方案数，用 \(\begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix}\ (\)或 \(C_n^m)\)表示，\(\dbinom{n}{m}=\dfrac{A_n^m}{m!}=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}\)
3.插板法
现有 \(n\) 个完全相同的元素，要求将其分为 \(k\) 组。
保证每组至少有一个元素，一共有多少种分法？考虑拿 \(k - 1\) 块板子插入到 \(n\) 个元素两两形成的 \(n - 1\) 个空里面。因为元素完全相同，所以答案就是 \(\dbinom{n - 1}{k - 1}\)。
本质是求 \(x_1+x_2+\cdots+x_k=n\) 的正整数解的组数。
每组允许为空，一共有多少种分法？给总体先加上 \(k\) 个，以保证每组至少一个，接下来处理同上，最后相当于每组减一还回去即可。答案为 \(\dbinom{n+k-1}{k-1}\)。因为 \(\dbinom{n}{m}=\dbinom{n}{n-m}\),答案即为 \(\dbinom{n+k-1}{n}\)。
本质是求 \(x_1+x_2+\cdots+x_k=n\) 的非负整数解的组数。
对于第 \(i\) 组，至少要分到 \(a_i\) 个（\(\sum\limits a_i\le n\)），一共有多少种分法？本质是求 \(x_1+x_2+\cdots+x_k=n\) 的整数解的组数。
模仿第三种情况，我们设 \(x'_i=x_i-a_i\) 以保证每组最少分到 \(a_i\) 个。现在相当于求 \(x'_1+x'_2+\cdots+x'_k=n\) 的整数解。
过程：
\[x'_1+x'_2+\cdots+x'_k=n\]\[(x'_1+a_1)+(x'_2+a_2)+\cdots+(x'_k+a_k)=n\]\[x_1+x_2+\cdots+x_k=n-a_1-a_2-\cdots-a_k\]\[x_1+x_2+\cdots+x_k=n-\sum a_i\]所以答案为 \(\dbinom{n-\sum a_i+k-1}{n-\sum a_i}\)。
例：\(\ \ 1 \sim n\) 这 \(n\) 个自然数中选 \(k\) 个，使得这 \(k\) 个数中任何两个数都不相邻的组合有 \(\dbinom {n-k+1}{k}\) 种。
证明：设选的 \(k\) 个数分别为 \(x_1,x_2,\cdots,x_k (x_1\le x_2\le \cdots \le x_k)\)，设 \(x'_i=x_i+i-1\)，则一定有 \(x'_1